Q2 1 2 4 5

Q2

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1

v∈V∩W→v⊥v→∣v∣=0v \in V\cap W \rightarrow v \perp v \rightarrow |v|=0

2

A=[121243364]→[121001000]x⊥{[121],[001]};x=[2−10]y⊥{[100],[110]};y=[001]z⊥{[2−10]};z=[001]A=\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 2&4&3\\ 3&6&4\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\\ x \perp \{ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \}; x= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 0\\ \end{bmatrix} \\ y \perp \{ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} \}; y= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \\ z \perp \{ \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 0\\ \end{bmatrix} \}; z= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}

4

[111010−10]→[10−1001−20]{x1−x3=0x2−2x3=0a=x3[121]P=aaTaTa\begin{bmatrix} 1& 1 & 1&0\\ 1& 0 &-1&0\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1& 0 & -1&0\\ 0& 1 &-2&0\\ \end{bmatrix}\\ \begin{cases} x_1-x_3=0\\ x_2-2x_3=0\\ \end{cases}\\ a=x_3\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{bmatrix}\\ P=\frac{aa^T}{a^Ta}

5

tD=b[1112][D]=[17]D^=(tTt)−1tTbtD=b\\ \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} D\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 7\\ \end{bmatrix} \\ \hat{D}=(t^Tt)^{-1}t^T b